Transformaciones de Coordenadas Polares a Coordenadas Rectangulares: Ejemplos

por Violeta León

      Transformar coordenadas polares a coordenadas rectangulares, es sencillo, siempre que sepamos de memoria las fórmulas y tengamos destreza en cuanto a métodos de factorización, completación de cuadrados y binomio cuadrado perfecto. El método que vamos a practicar es utilizado en física y trigonometría. He aquí las fórmulas para poder comenzar a desarrollar varios ejemplos:






  • El primer ejemplo consta de la transformación de coordenadas polares a coordenadas rectangulares: observamos primero cuáles elementos poseemos para poder transformar; recordar que cuando se cambia una fórmula, todas las demás deben cambiar también. El r cuadrado lo cambiamos por x y y cuadrados, los mantenemos en paréntesis para efectos de signos; en este ejemplo no se distribuye ningún signo, pero en futuras ocasiones si se dará el caso. Asimismo trabajamos a cos y sen. El término independiente, siempre se mantiene igual. Ahora con la finalidad de completar cuadrados agrupamos los términos semejantes, las x en un paréntesis al igual que las y. El término independiente lo pasamos al otro lado de la desigualdad. Completamos cuadrados y tenemos la fórmula de la circunferencia.

transformación de coordenadas polares
     Es bueno, recordar las fórmulas de la circunferencias, elipses, hipérbolas, rectas, de manera que podamos identificar los resultados con facilidad, además, existen casos en donde requieren que se expresen los elementos de la curva encontrada.

  • El segundo ejemplo es una hipérbola y se busca transformar coordenadas rectangulares a coordenadas polares: vemos que en la ecuación dada se requiere que tanto x cuadrada como y cuadrada tengan el mismo coeficiente, en este caso que ambos, sean igual a 9. Para ello sumamos en ambos miembros 4x cuadradas. Sacamos factor común de manera que ya tenemos a r cuadrado implícito. En el otro miembro tenemos un binomio cuadrado perfecto.  Ahora si, podemos hacer el cambio correspondiente con las fórmulas. Como el objetivo es que la r no esté elevada al cuadrado aplicamos raíz en ambos miembros, esto nos obliga a evaluar con ambos signos, tanto el lado positivo como el negativo, obteniendo dos ecuaciones para la primera dada. 
coordenadas rectangulares

 Observese el mismo comportamiento con esta otra hipérbola:



hipérbola
  • El siguiente ejemplo es una muestra de la omisión de los signos positivos y negativos al quitar la raíz, a pesar de que el ejercicio está técnicamente bien realizado, es necesario hacer la evaluación con ambos signos. También pueden notar que se podía igualar a cero y así evitamos la presencia de una raíz y la necesidad de los signos. 
    transformación de coordenadas polares

     Por estar en presencia de una lemniscata tenemos que verificar que la ecuación obtenida contenga al polo, ya que de lo contrario no pertenece la ecuación a la curva. La evaluación se realiza en una tita conveniente; es decir, hacer la evaluación en una tita donde el valor resultante sea cero. De la siguiente manera:
lemniscata

Sabías que..? las aeronaves usan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación.
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